Graduado
em matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras
de Santo André
REPRESENTAÇÃO
ESPACIAL TRIDIMENSIONAL DA ESCALA MUSICAL TEMPERADA
r
= a^(kt)
Além da representação da
escala musical temperada com seus vetores freqüencia representados
no espaço bidimensional, podemos fazer esta representação
também no espaço tridimensional. Devo dizer que nunca vi
isto deste modo, apenas proponho esta
maneira de representá-la, como o fiz na representação
polar em duas dimensões. Podemos imaginar os vetores girando em
torno de um cilindro cujo raio da base tem o valor (1.0594631)^(1.9098593
t) para t = zero, com origens no centro do cilindro e
cujas pontas percorram as paredes do cilindro subindo exponencialmente,
de acordo com a equação (1.0594631)^(1.9098593
t). A equação modelo é esta r
= a^kt, onde r = valor do
intervalo musical na escala musical temperada; k
é uma constante adotada para que todos os valores de
uma oitava sejam mostrados no desenvolvimento de 2pi radianos;
t é o ângulo associado ao valor de r; e
a é igual a 1.0594631 -
que é a raiz décima segunda de dois - dado que a equação
fundamental da escala temperada é: i^12
= 2.
Representação espacial
da escala musical
Aplicando as fórmulas acima podemos construir
uma tabela das coordenadas do vetor posição no espaço
tridimensional que representa cada nota musical da seqüencia da escala
musical igualmente temperada. O intervalo acima está limitado de
0 a 2pi, claro está que podemos estender este intervalos a quantas
oitavas queiramos.
Representação Espacial
da Escala Musical Temperada
Representação de uma oitava
Com esta visão espacial, os valores
de r, nos intervalos
de quintas - ficam de acôrdo com a tabela abaixo:
Incluímos também aqui os
intervalos de Quarta.
Com esta visão espacial, os valores
de Z, nos intervalos de quintas - ficam de acôrdo com a tabela
abaixo:
SEQÜENCIA DOS INTERVALOS DE QUINTAS
Os intervalos de quintas estão
separados de 210 graus ou 7/6 pi radianos.
As notas estão representadas em
círculos separados, mas na visão espacial
tridimensional elas estão todas
sobre a primeira circunferência, subindo
em espiral de acordo o com a variação
do raio r - (freqüencia) da tabela
acima.
ALGUNS CÁLCULOS COMPLEMENTARES
Como variam os ângulos associados
a r (em radianos)
A cada valor de r
da tabela à esquerda corresponde o seu ângulo de elevação
na tabela à direita - Primeira
tabela abaixo -: Quando r=2, sua elevação
é de 1.0471976 radianos ou 60 graus.
Obras Consultadas:
Equações Vallumbrosianas
B.Vallumbrosius
(1861-1928)
